$\begin{align}  & \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+2x+2}dx} \\ & \text{Using long division} \\ & {{x}^{2}}+2x+2\overset{1}{\overline{\left){\begin{align}  & {{x}^{2}}+2x \\ & \underline{{{x}^{2}}+2x+2} \\ & \text{           }-2 \\\end{align}}\right.}} \\ & \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\left( 1-\frac{2}{{{x}^{2}}+2x+2} \right)dx} \\ & \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\int\limits_{-1}^{1}{dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\frac{2}{{{x}^{2}}+2x+2}dx} \\ & \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\int\limits_{-1}^{1}{dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\frac{2}{{{x}^{2}}+2x+2+1-1}dx} \\ & \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\int\limits_{-1}^{1}{dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\frac{2}{{{x}^{2}}+2x+1+2-1}dx} \\ & \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\int\limits_{-1}^{1}{dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\frac{2}{{{(x+1)}^{2}}+1}dx} \\ & \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\left[ x-2{{\tan }^{-1}}(x+1) \right]_{-1}^{1} \\ & \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\left[ (1-2{{\tan }^{-1}}2) \right]-\left[ -1-2{{\tan }^{-1}}(-1+1) \right] \\ & \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=1-2{{\tan }^{-1}}2+1=2-2{{\tan }^{-1}}2 \\\end{align}$